DEFINICIONES Y CONCEPTOS GEOMETRICOS BASICOS

- DEFINICIONES Y CONCEPTOS GEOMETRICOS BASICOS
OBJETIVOS INSTRUCTIVOS
Que el alumno:
• Revise en profundidad los conceptos geométricos más elementales, con el propósito de que pueda razonar las diversas situaciones que bajo formas geométricas se le presentarán durante el estudio y posteriormente en su vida profesional.
• Aprenda las propiedades características de las figuras poligonales y de las figuras y los cuerpos redondos.
1.- ANGULOS
Definición: Angulo es todo conjunto de puntos de un plano contenido entre dos semirrectas con el origen en común.
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Los ángulos se clasifican en:
1.1.- ANGULO CONVEXO: si por un punto O de un plano se trazan dos rectas r1 y r2, el plano queda dividido en cuatro regiones, cada una de las cuales recibe el nombre de ángulo convexo.
r r 12
O
Los ángulos convexos se clasifican en: agudos, rectos y obtusos.
1.2.- ANGULO LLANO: es el ángulo cuyos lados son semirrectas opuestas.
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1.3.- ANGULO CONCAVO: si en un plano se suprime un ángulo convexo, el ángulo restante se llama cóncavo.
ANGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS
1.4.- Dos ángulos son complementarios cuando suman un ángulo recto.
1.5.- Dos ángulos son suplementarios cuando suman un ángulo llano.
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ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN
Cuando dos rectas se cortan en un plano, se forman cuatro ángulos que se clasifican en opuestos por el vértice y adyacentes.
1.6.- Dos ángulos cuyos lados son semirrectas opuestas se dicen opuestos por el vértice.
PROPIEDAD: los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
1.7.- Dos ángulos que tienen un lado común y los otros dos son semirrectas opuestas se dicen adyacentes.
PROPIEDAD: los ángulos adyacentes son suplementarios.
ANGULOS FORMADOS POR DOS PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL
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Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman 8 ángulos que, tomados por pares, se clasifican en:
1.8.- ANGULOS CORRESPONDIENTES: son pares de ángulos situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal, uno de ellos interno y el otro externo con respecto a la faja formada por las rectas paralelas, no adyacentes.
PROPIEDAD: los ángulos correspondientes(entre paralelas)son iguales.
1.9.- ANGULOS ALTERNOS: son pares de ángulos situados en distintos semiplanos con respecto a la transversal; si ambos están dentro de la faja de las paralelas se dicen ALTERNOS INTERNOS; si están afuera de la faja se dicen ALTERNOS EXTERNOS.
PROPIEDAD: los ángulos alternos son iguales.
1.10.- ANGULOS CONJUGADOS: son pares de ángulos situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal; si ambos están dentro de la faja de las paralelas se dicen CONJUGADOS INTERNOS; si están afuera de la faja, se dicen CONJUGADOS EXTERNOS.
PROPIEDAD: los ángulos conjugados son suplementarios.
2.- POLIGONOS CONVEXOS
2.1.- DEFINICION: dados en un cierto orden n puntos en un plano, A, B, C, D, E, ..., P, tres cualesquiera de ellos no alineados y de modo que la recta determinada por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano respecto de ella, llámase polígono convexo a la intersección de todos esos semiplanos.
NOMBRES DE LOS POLIGONOS SEGUN EL NUMERO DE LADOS
N° de lados Nombre N° de lados Nombre
3 (tres) Triángulo 8 (ocho) Octógono
4 (cuatro) Cuadrilátero 9 (nueve) Nonágono
5 (cinco) Pentágono 10 (diez) Decágono
6 (seis) Exágono 11 (once) Eneágono
7 (siete) Eptágono 12 (doce) Dodecágono
Nota: si el polígono tiene 13, 14 o más lados, en general se lo nombra diciendo: polígono de 13 lados, polígono de 14 lados, etc.
2.2.- SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN POLIGONO
Propiedad: la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a dos ángulos rectos multiplicados por el número de lados menos dos.
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NOTACION
R : medida del ángulo recto. n: número de lados del polígono.
Sn: suma de los ene-ángulos interiores de un polígono.
Sn = 2.R.(n - 2)
2.2.- SUMA DE LOS ANGULOS EXTERIORES DE UN POLIGONO
PROPIEDAD: la suma de los ángulos exteriores de un polígono es una constante igual a cuatro ángulos rectos.
2.3.-PROPIEDAD: en todo polígono un lado es menor que la suma de los demás.
2.4.- IGUALDAD DE POLIGONOS
Definición: dos polígonos son iguales si y sólo si los lados y ángulos de uno de ellos son respectivamente iguales a los lados y ángulos del otro.
3.- TRIANGULOS
3.1.- CLASIFICACION
3.1.1.- Según la medida relativa de sus lados, los triángulos se clasifican en:
EQUILATEROS: tienen los tres lados iguales.
ISOSCELES: tienen dos lados iguales.
ESCALENOS: tienen los tres lados desiguales.
3.1.2.- Según la medida relativa de sus ángulos interiores, los triángulos se clasifican en:
ACUTANGULOS: tienen los tres ángulos agudos.
RECTANGULOS: tienen un ángulo recto.
OBTUSANGULOS: tienen un ángulo obtuso.
3.2.- SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES
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Propiedad fundamental: la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos.
4.- CUADRILATEROS
4.1.- Definición: cuadrilátero es todo polígono de cuatro lados.
4.2.- PROPIEDADES DE LOS CUADRILATEROS
4.2.1.- Tanto la suma de los ángulos interiores como la de los exteriores, es cuatro ángulos rectos.
4.2.2.- Cada lado es menor que la suma de los otros tres.
S4 = 4.R
4.2.3.- Las diagonales se cortan en un punto interior.
4.3.- CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS
Los cuadriláteros se clasifican en:
a) paralelogramos.
b) no paralelogramos.
5.- PARALELOGRAMOS
5.1.- Definición: Un cuadrilátero es un paralelogramo si y sólo si sus lados opuestos son paralelos.
5.2.- PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS
En todo paralelogramo,
5.2.1.- los lados opuestos son iguales.
5.2.2.- los ángulos opuestos son iguales.
5.2.3.- las diagonales se cortan en su punto medio.
5.3.- BASE MEDIA DE UN PARALELOGRAMO
5.3.1.- Definición: llámase base media de un paralelogramo, con respecto a uno de sus pares de lados paralelos, al segmento que tiene por extremos a los puntos medios de los otros dos lados.
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5.3.2.- Propiedad: la base media de un paralelogramo, con respecto a un par de lados paralelos, es paralela a esos lados e igual a(o congruente con) ellos.
5.4.- CLASIFICACION DE LOS PARALELOGRAMOS
Los paralelogramos se clasifican en:
5.4.1.- Paralelogramo propiamente dicho.
5.4.2.- Rectángulo.
5.4.3.- Rombo.
5.4.4.- Cuadrado.
5.4.1.- PARALELOGRAMO POPIAMENTE DICHO
5.4.1.1.-Definición: es el paralelogramo vulgar, es decir el paralelogramo que sólo tiene las propiedades mencionadas en 5.2 y en 5.3.
Los otros tres son paralelogramos especiales, pues poseen además algunas propiedades particulares, según se detalla.
5.4.2.- RECTANGULO
5.4.2.1.- Definición: rectángulo es el paralelogramo que tiene los cuatro ángulos rectos.
5.4.2.2.- Condición suficiente: para que un paralelogramo sea rectángulo, es suficiente con que tenga un ángulo recto.
5.4.2.3.- Propiedad: en todo rectángulo las diagonales son iguales.
5.4.3.- ROMBO
5.4.3.1.-Definición: rombo es el paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales (congruentes).
5.4.3.2.-Condición suficiente: para que un paralelogramo sea un rombo, es suficiente que tenga dos lados consecutivos iguales (congruentes).
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5.4.3.3.- Propiedad: en todo rombo las diagonales son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen.
5.4.4.- CUADRADO
5.4.4.1.-Definición: cuadrado es el paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos y sus cuatro lados iguales (congruentes).
5.4.4.2.- Consecuencia de la definición: cuadrado es el paralelogramo que simultáneamente es rectángulo y rombo.
6.- NO PARALELOGRAMOS
6.1.- CLASIFICACION:
los no paralelogramos se clasifican en:
6.1.1.- Trapecios
6.1.2.- Trapezoides
6.1.1.- TRAPECIO
6.1.1.1.- Definición: trapecio es el cuadrilátero que tiene sólo un par de lados opuestos paralelos.
6.1.1.2.- Bases: en un trapecio, los lados paralelos se llaman base mayor y base menor respectivamente.
El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos, se llama base media.
6.1.1.3.- Propiedad: en todo trapecio la base media es paralela a las bases mayor y menor e igual a su
semisuma.
6.1.1.4.- Clasificación
Trapecio isósceles es el que tiene sus lados no paralelos iguales.
Trapecio escaleno es el que tiene sus lados no paralelos distintos.
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Caso particular: si en un trapecio escaleno uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases, se dice trapecio rectángulo.
6.1.2.- TRAPEZOIDE
6.1.2.1.- Definición: es el cuadrilátero que tiene los dos pares de lados opuestos no paralelos.
Caso particular:
6.1.2.2.- ROMBOIDE: es el trapezoide que tiene dos pares de lados consecutivos iguales.
6.1.2.2.1.- Propiedades de las diagonales de un romboide
En el romboide:
1.- Las diagonales son perpendiculares.
2.- La diagonal mayor es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une, y corta a la diagonal
menor en su punto medio.
7.- FIGURAS REDONDAS
7.1.- CIRCUNFERENCIA
7.1.1.- Definición: es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo.
El punto fijo se llama "centro".
El valor de la equidistancia se llama "radio".
7.1.2.- Elementos: los elementos que se deben distinguir en una circunferencia son cuerda, arco, ángulo central, ángulo inscripto y ángulo semi-inscripto, entre otros.
7.1.3.- Punto interior a una circunferencia, es todo punto de su plano que dista del centro un segmento menor que el radio.
7.2.- CIRCULO
7.2.1.- Definición: es el conjunto de puntos de una circunferencia y de todos sus puntos interiores.
7.2.2.- Propiedades:
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• En todo círculo, o en círculos iguales, a ángulos centrales iguales corresponden cuerdas iguales y arcos iguales, y recíprocamente.
• En todo círculo, o en círculos iguales, a mayor arco corresponde mayor cuerda y mayor ángulo central.
• El diámetro perpendicular a una cuerda corta a ésta, a los arcos que ella subtiende y a los ángulos centrales correspondientes, en dos partes iguales.
• Por tres puntos no alineados pasa siempre una y sólo una circunferencia.
• Todo diámetro es eje de simetría del círculo y de la circunferencia a los que pertenece.
7.3.- FIGURAS ASOCIADAS
7.3.1.- Sector circular: es la figura que resulta de la intersección de un círculo con uno de sus ángulos centrales.
7.3.2.- Segmento circular: es cada uno de los conjuntos en que queda dividido un círculo cuando se determina una cualquiera de sus cuerdas.
7.4.- POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
Dadas en un plano una recta y una circunferencia, puede ocurrir
1. que ambas tengan dos puntos en común; en ese caso la recta se dice "secante" a la circunferencia.
2. que no tengan puntos en común; en ese caso la recta se dice "exterior" a la circunferencia.
3. que tengan un solo punto en común; en ese caso la recta se dice "tangente" a la circunferencia.
Propiedad: una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
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